Заседание семинара "Общеинститутский семинар" 01.06.2021 в 10-00. "СИММЕТРИЧНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ОПТИМИЗАЦИИ", Зоркальцев Валерий Иванович

«Симметричная двойственность в оптимизации»

Зоркальцев Валерий Иванович, проф., д.т.н. ИСЭМ СО РАН, ЛИН СО РАН

В теории и методах оптимизации большую роль играют множители Лагранжа, которые иногда называют двойственными оценками, двойственными множителями или (с подачи Л.В.Канторовича) объективно обусловленными оценками выражающими «важность» «напряженность» или «ценность» отдельных ограничений задачи. Правило определения этих множителей обычно можно представить как некоторую, двойственную задачу оптимизации (часто неоднозначно определяемую). Предметом рассмотрения в данном докладе будет ситуация, когда двойственная к двойственной задаче совпадает с исходной задачей оптимизации. Такая ситуация названа «симметричной двойственностью».

Теоретическую основу симметричной двойственности составляет теория альтернативных систем линейных неравенствах (частным случаем является теорема Фредгольма для линейных равенств, которые являются частным случаем линейных неравенств), а также сопряженные функции Лежандра-Фенхеля. Обе эти составляющие будут рассмотрены в докладе.

Будут проиллюстрированы достоинства симметричной двойственности как инструмента конструирования и исследования моделей, а также их польза с позиций вычислительных методов. В частности будет показано, что для модели поиска термодинамического равновесия в химических реакциях , основанной на минимизации энергии Гибса, симметрично двойственной будет классическая задача геометрического программирования. Это позволяет устанавливать связь с моделями кинетики химических реакций и позволяет использовать для реализации моделей термодинамического равновесия известные алгоритмы решения задач геометрического программирования.  

Особое внимание в докладе будет уделено  моделям потокораспределения – транспортным задачам, электрическим и гидравлическим (водоснабжение, теплоснабжение, системы канализации) цепям. Так,  для электрических цепей постоянного тока на основе фактов симметричной двойственности будет показано, как можно уточнить (сделать однозначным) второй закон Кирхгофа, как исправить допущенную Максвеллом погрешность в формулировке его «тепловой теоремы» и сделать эту теорему пригодной не только для пассивных, но и для активных электрических цепей, как получить еще одну двойственную тепловую теорему (исходными переменными в которой будут только напряжения, а токи будут определяться как множители Лагранжа ограничений) .

Будут представлены результаты сопоставления вариантов алгоритмов  метода внутренних точек  для  решения нелинейных задач потокораспределения (расчета режимов газотранспортной системы России, задачи управления режимами электроэнергетических систем). На основе экспериментальных расчетов и установленных теоретических фактов будет показано, почему во многих случаях следует пользоваться не «прямыми» алгоритмами внутренних точек (осуществляющих монотонное улучшение решения исходной задачи потокораспределения), а двойственными алгоритмами (осуществляющих монотонное улучшение решения симметрично двойственной задачи, когда переменные исходной задачи определеяются в виде множителей Лагранжа).