УЧЕТ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ НЕЙРОСЕТЕВОМ ПОДХОДЕ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

EDN: LFBNWY

В работе рассматривается один из возможных вариантов модификации нейросетевого подхода к численному решению нелинейных уравнений в частных производных, у которых благодаря физическим свойствам описываемых явлений имеются интегралы движения. Представленный метод подразумевает учет и непосредственное использование соответствующих законов сохранения при построении и обучении нейронных сетей, аппроксимирующих решения такого класса задач, что позволяет улучшить характеристики и качество получаемых нелинейных регрессионных моделей. Более точное выполнение консервативных свойств физических систем для аппроксиматора обеспечивается регуляризацией функции потерь: добавлением невязки сохраняющейся величины нейросетевого решения. Данная концепция рассмотрена и апробирована на примере нелинейного уравнения Шредингера и двух его интегралов движения, отвечающих законам сохранения числа квантов и энергии. Для вычисления невязки этих сохраняющихся величин и реализации консервативной регуляризации функции потерь был использован метод плоскостей непрерывности (вычисление величин в фиксированные моменты времени). Полученные результаты показывают улучшение консервативных свойств, а также в некоторых случаях точности нейросетевого решения по сравнению с регрессионной моделью, построенной с помощью глубокого обучения без учета предложенной в работе модификации.

Работа проведена при поддержке Проекта № 0729-2021-013, в рамках Государственного задания па выполнение научно-исследовательских работ лабораториями, прошедших конкурсный отбор в ходе реализации национальной программы «Наука и университеты».

Список литературы

1. Moxley F., Chuss D., Dai W. A generalized finite-difference time domain scheme for solving nonlinear Schrodinger equations /7 Computer Physics Communications, 2013. N 184 (8). P. 1834¬1841. [El. Res.]: https://doi .org/10.1016/j . cpc .2013.03.006. 2. Васильев Е.П., Болотов Д. И., Болотов М.И., Смирнов Л. А. Нейросетевой подход к реше-нию задачи самовоздействия волновых полей в нелинейных средах / / Проблемы Информатики, 2022. № 1. С. 5-16. [Электрон, рос.]: https://doi.org/10.24412/2073-0667-2022-l-5-16. 3. Karniadakis, G.E., Kevrekidis, EG., Lu, L. et al. Physics-informed machine learning /7 Nature Reviews Physics. 2021. N 3. P. 422-440. [El. Res.]: https://doi.org/10.1038/s42254-021-00314-5. 4. Raissi М., Perdikaris Р., Karniadakis G.E.: Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations / / Journal of Computational Physics. 2019. N 378. P. 686-707. [El. Res.]: https://doi.org/10.1016/ j.jcp.2018.10.045. 5. Pu J.C., Li J., Chen Y. Soliton, breather, and rogue wave solutions for solving the nonlinear Schrodinger equation using a deep learning method with physical constraints // Chinese Physics B, 2021. N 30 (6), 060202. [El. Res.]: https://dx.doi.org/10.1088/1674-1056/abd7e3. 6. Wu G. Z., Fang Y., Wang Y. Y., Wu G. C., Dai C. Q. Predicting the dynamic process and model parameters of the vector optical solitons in birefringent fibers via the modified PINN // Chaos, Solitons and Fractals. 2021. N 152, 111393. [El. Res.]: https://doi.Org/10.1016/j.chaos.2021.111393. 7. Wang L., Yan. Z. Data-driven rogue waves and parameter discovery in the defocusing nonlinear Schrodinger equation with a potential using the PINN deep learning // Physics Letters A. 2021. V. 404. P. 127408. [El. Res.]: https://doi.Org/10.1016/j.physleta.2021.127408. 8. Jagtap, A., Kharazmi, E., Karniadakis. G.E. Conservative physics-informed neural networks on discrete domains for conservation laws: Applications to forward and inverse problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2020. N 365, 113028. [El. Res.]: https://doi.org/ 10.1016/j. cma.2020.113028. 9. Wu G.Z., Fang Y., Kudryashov N., Wang Y. Y., Dai C.Q. Prediction of optical solitons using an improved physics-informed neural network method with the conservation law constraint // Chaos, Solitons and Fractals, 2022. 159(C), 112143. [El. Res.]: https://doi.Org/10.1016/j.chaos.2022. 112143. 10. Lin S., Chen Y. A two-stage physics-informed neural network method based on conserved quantities and applications in localized wave solutions // Journal of Computational Physics, 2022. 457(C), 111053. [EL Res.]: https://doi.Org/10.1016/j.jcp.2022.111053. 11. [El. Res.]: https://docs.nvidia.com/deeplearning/modulus/user_guide/theory/ recommended_practices.html. 12. Zakharov V., Manakov S. On the complete integrability of a nonlinear Schrodinger equation // Theoretical and Mathematical Physics. 1974. N 19 (3). P. 551-559. [El. Res.]: https://doi.org/10. 1007/BF01035568. 13. [El. Res.]: https://docs.nvidia.com/deeplearning/modulus/user_guide/foundational/ scalar_transport.html. 14. Stein M. Large sample properties of simulations using Latin hypercube sampling, Technometrics. 1987. N 29. P. 143-151. [El. Res.]: https://www.jstor.org/stable/1269769. 15. Schraudolph N. N., Yu J., Gunter S. A Stochastic Quasi-Newton Method for Online Convex Optimization // International Conference on Artificial Intelligence and Statistics, 2007. P. 436-443. [El. Res.]: http://proceedings.mlr.press/v2/schraudolph07a/schraudolph07a.pdf.