Заседание семинара "Численный анализ" 13.12.2016 в 11-00. "Разработка алгоритма с переменным числом стадий для решения жестких задач", Рыбков Михаил Викторович

При решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений широко применяются явные методы типа Рунге-Кутты, поскольку они просты в реализации и не требуют обращения матрицы Якоби.  Тем не менее, при интегрировании жестких задач условие устойчивости накладывает сильные ограничения на величину шага интегрирования, что существенно снижает эффективность метода.

В работе создан численный алгоритм определения коэффициентов многочленов устойчивости, при которых область устойчивости соответствующего явного метода имеет заданную форму и размер. Показано, что форма, размер и структура области устойчивости зависят от расположения корней многочлена устойчивости в комплексной плоскости.

Создан набор методов первого порядка, имеющих заданную расширенную вдоль действительной оси область устойчивости с количеством стадий до m=27. Разработанные явные m-стадийные методы первого порядка точности, у которых области устойчивости промежуточных численных формул согласованы с областью устойчивости основной схемы, показывают высокую эффективность при интегрировании задач умеренной жесткости. Построены неравенства для контроля точности и устойчивости численной схемы.

Разработаны алгоритм переменного порядка на основе метода Мерсона и построенных методов первого порядка и алгоритм с переменным числом стадий. Проведенные расчеты показывают повышение эффективности по сравнению с традиционными методами решения жестких задач.