Лаборатория численного анализа стохастических дифференциальных уравнений

 

Основные научные направления лаборатории

  • численные методы решения задачи Коши для систем СДУ
  • алгоритмы параметрического анализа нелинейных СДУ
  • математическое моделирование в задачах математической физики и химии
  • параллельные алгоритмы статистического моделирования для кластерных вычислений
  • электронные учебные системы для общеобразовательных программ.

Научная деятельность

Научная деятельность лаборатории связана с вопросами анализа решений стохастических дифференциальных уравнений методом Монте-Карло. В первую очередь требуется разработать высокоэффективные численные методы решения систем СДУ с разными свойствами и создать алгоритмы для параллельных вычислений. Особое внимание уделяется численному анализу решений осциллирующих СДУ. Для этого вводятся новые статистические характеристики решений: частотная интегральная кривая и частотный фазовый портрет. Проводится исследование влияния аддитивных и мультипликативных случайных шумов на линейный и нелинейный колебательные контуры, на поведение странных аттракторов, на протекание химических реакций, на траектории полетов космических летательных аппаратов. В последнее время в лаборатории начато изучение вопросов численного решения СДУ в частных производных. В качестве объектов исследования выступают стохастические уравнения Навье-Стокса и Шредингера. Так как при решении таких уравнений возникает необходимость численного решения систем обыкновенных СДУ с десятками тысяч компонент, то без использования параллельных вычислений на суперкомпьютерах с сотнями тысяч ядер проблема не может быть решена. Кроме того, при решении таких задач необходимо разработать новые специфические статистические характеристики типа статистических портретов скоростей и потоков жидкости или газа.

Большое внимание уделяется построению эффективных статистических алгоритмов моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами на основе численных методов решения СДУ и эффективных алгоритмов статистического моделирования неоднородных пуассоновских потоков. Проводится верификации построенных алгоритмов и сравнение их с известными алгоритмами на решениях тестовых задач. Построенные эффективные алгоритмы применяются для решения прикладных задач, в частности для моделирования неравновесных процессов.

Исследуется влияние пуассоновских случайных шумов на поведение решений систем СДУ. Для линейных и нелинейных осцилляторов исследуется точность оценок функционалов от численных решений СДУ, полученных обобщенным явным методом Эйлера. Наличие в СДУ пуассоновской составляющей существенно затрудняет получение требуемой точности этих оценок, прежде всего из-за значительного увеличения трудоемкости численных алгоритмов. Исследование точности оценок первых моментов решения СДУ подразумевает нахождение точных аналитических выражений для моментов. При численном решении СДУ с пуассоновской составляющими точность оценок моментов зависит от значений вещественных параметров СДУ, расстояний между скачками, величин скачков, размера шага интегрирования и размера  ансамбля моделируемых траекторий решения. На точность оценок сильно влияет рост дисперсии компонент решения системы СДУ, причем наличие пуассоновской составляющей может превращать устойчивое в среднеквадратичном решение в неустойчивое. Кроме того, в отличие от винеровской составляющей, пуассоновская составляющая может существенно менять частоту колебаний математического ожидания решения осциллирующей системы СДУ.

Проводятся исследования по оценке неизвестных параметров моделей, заданных в виде дискретных аналогов СДУ с пуассоновской составляющей. Такая модель на основе скалярного линейного СДУ построена для ценовых рядов, используемых в финансовой математике. Она учитывает случайные скачки цен и включает в себя следующие неизвестные параметры: коэффициент корреляции приращений цены, волатильность, среднеквадратичное отклонение величины скачков, интенсивность скачков. Исследуются оценки этих параметров, полученные на основе метода моментов по одной реализации ряда приращений цены.

Разработаны и теоретически обоснованы методы и алгоритмы оценки производных по параметрам математических ожиданий функционалов диффузионных процессов в областях с поглощающими и отражающими границами. Основные проблемы в решении таких задач, которые были успешно решены, состоят в следующем.  Для областей с поглощающими границами функционалы диффузионных процессов содержат, как правило, время первого выхода процесса из области, для которого требуется находить производные по параметрам. В случае отражающих границ возникает необходимость дифференцирования по параметрам локального времени случайного процесса на границе, которое тоже необходимо дифференцировать по параметрам. Построенные методы имеют важное значение при исследовании параметрической зависимости решений задач, связанных со случайными процессами. К таким задачам можно отнести, например, задачи финансовой математики и решение краевых задач для эллиптических и параболических уравнений. Также методы оценки параметрических производных могут быть использованы при решении обратных задач на основе градиентной оптимизации. При этом следует отметить, что успешное решения многих практических задач возможно на основе параллельных вычислений использованием суперкомпьютерной техники. В настоящее время на основе этих методов в лаборатории решается задача оптимизации параметров теплозащитных покрытий самолетов, конструкция которых предполагает наличие сотовых панелей.