Ру
EnЛаборатория численного анализа стохастических дифференциальных уравнений
Заведующие лабораторией |
||
 |
 |
 |
|
д.ф.-м.н., проф. Артемьев С.С. 1995 – 2017гг. |
д.ф.-м.н., проф. РАН Марченко М.А. 2017 – 2019гг. |
к.ф.-м.н. Лукинов В.Л. 2019 – наст. вр. |
Контакты:
Лукинов Виталий Леонидович
email: Vitaliy.Lukinov[~]sscc.ru
Основные научные направления лаборатории
- обработка и анализ больших данных
- численные методы решения систем СДУ, СДУ с частными производными
- алгоритмы параметрического анализа нелинейных СДУ
- моделирование случайных процессов
- математическое моделирование в задачах математической физики и химии
- параллельные алгоритмы статистического моделирования для кластерных вычислений
- электронные учебные системы для общеобразовательных программ.
Научная деятельность
Важнейшие результаты
2022 год
Уменьшение дисперсии оценки функционала от диффузионного процесса в области с отражающей границей
Гусев С.А., д.ф.-м.н., снс, ИВМ и МГ СО РАН
Предложен способ уменьшения дисперсии для оценки функционала от диффузионного процесса в области с отражающей границей. Оценка получается на основе численного моделирования траекторий решения системы СДУ, соответствующей диффузионному процессу. Значение этого функционала совпадает с решением в заданной точке краевой задачи третьего рода для параболического уравнения. Для уменьшения дисперсии оценки предложено преобразование краевой этой задачи. Получена формула для предельного значения дисперсии этой оценки при убывании шага в методе Эйлера. При этом значение дисперсии зависит от матрицы диффузии и градиента решения краевой задачи. Преобразование краевой задачи приводит к уменьшению нормы градиента решения краевой задачи на большей части области её определения, что приводит к уменьшению дисперсии оценки функционала.
Публикация:
С.А. Гусев О дисперсии оценки функционала от диффузионного процесса в области с отражающей границей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН Сиб. отд-ние. – Новосибирск, 2022. – Т. 25, № 4. – С. 359 – 369.
2021 год
Применение метода максимального сечения в задаче фильтрации для непрерывных систем с марковскими переключениями
Аверина Т.А., к.ф.-м.н., cнс, ИВМиМГ СО РАН, Рыбаков К.А, к.ф.-м.н., доцент МАИ
Предложены новые алгоритмы решения задачи оптимальной фильтрации для систем со случайной структурой с непрерывным временем, использующие экономичный способ моделирования случайных величин.
Рассматриваемая задача оптимальной фильтрации состоит в оценивании текущего состояния (X(t),L(t)) системы по результатам измерений Y(t). Математическая модель системы включает нелинейные стохастические дифференциальные уравнения, правая часть которых определяет структуру динамической системы, или режим функционирования. Правая часть может изменяться в случайные моменты времени. Число структур системы предполагается конечным, а процесс смены структуры — марковским или условно марковским. Вектор состояния такой системы состоит из двух компонент: вектора с вещественными координатами X(t) и целочисленного номера структуры L(t). Закон изменения номера структуры определяется распределением случайного промежутка времени между переключениями с заданной интенсивностью, зависящей от состояния системы.
Предложенные алгоритмы оценивания текущего состояния систем со случайной структурой относятся к типу фильтров частиц. Алгоритмы построены на основе метода статистического моделирования с использованием разработанных численных методов решения СДУ и экономичной модификации метода максимального сечения
Публикации:
Tatyana A. Averina, Konstantin A. Rybakov Maximum cross section method in the filtering problem for continuous systems with Markovian switching // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. Vol.36, No 3, 2021,pp. 127-137, DOI: https://doi.org/10.1515/rnam-2021-0011
Практически важные результаты
2022 год
DBTR-КАЛЬКУЛЯТОР
Медведчиков А.Е., Лукинов В.Л., Кирилова И.А.
Программа предназначена для прогнозирования риска хирургического лечения пациентов с разрывом дистального сухожилия двуглавой мышцы плеча, что позволит выбрать правильные методы лечения и снизить риски негативных исходов лечения. На основе логистической многофакторной регрессии построены прогностические модели, позволяющие определить риски негативных исходов для разных тактик лечения. Программа содержит несколько модулей, позволяющих выполнять автоматизированные расчеты и сравнение рисков неблагоприятных событий для различных методов лечения. Программа включает в себя основной графический модуль для ввода данных и получения прогноза рисков негативных событий, расчетный модуль для вычисления рисков и сравнения методов лечения, информационные модули помощи, сведений о применяемых алгоритмах, модуль сохранения данных.
Программа моделирования эпидемии COVID-19 для двух групп индивидуумов с отличающимися клиническими характеристиками
В.Л. Лукинов, Д.А. Юзов
Программа является развитием программы для реализации и численного анализа стохастической Пуассоновой SEIR-модели эпидемии COVID-19. Новизна состоит в введении двух групп с отличающимися клиническими параметрами и возможности параллельных вычислений на одном процессоре с многими вычислительными потоками.
Математическая модель и результаты тестирования программы представлены на международной научной конференции «Марчуковские научные чтения 2022»:
2021 год
Программа для реализации и численного анализа стохастической Пуассоновой SEIR-модели эпидемии COVID-19
Г.З. Лотова, В.Л. Лукинов, М.А. Марченко, Г.А. Михайлов, Д.Д. Смирнов
Программа позволяет исследовать распространение эпидемии COVID-19 на основе моделирования пуассоновских потоков событий в популяции, определяя на каждом шаге время и тип последующего события. Таким образом реализуется случайная траектория событий. Результатом программы являются реализации случайных траекторий, усредненная траектория эпидемии и оценки стандартных отклонений для каждого дня, с помощью которых определяется точность прогноза.
Математическая модель и результаты тестирования программы опубликованы:
Основное
Научная деятельность лаборатории связана с вопросами анализа решений стохастических дифференциальных уравнений методом Монте-Карло. В первую очередь требуется разработать высокоэффективные численные методы решения систем СДУ с разными свойствами и создать алгоритмы для параллельных вычислений. Особое внимание уделяется численному анализу решений осциллирующих СДУ. Для этого вводятся новые статистические характеристики решений: частотная интегральная кривая и частотный фазовый портрет. Проводится исследование влияния аддитивных и мультипликативных случайных шумов на линейный и нелинейный колебательные контуры, на поведение странных аттракторов, на протекание химических реакций, на траектории полетов космических летательных аппаратов. В последнее время в лаборатории начато изучение вопросов численного решения СДУ в частных производных. В качестве объектов исследования выступают стохастические уравнения Навье-Стокса и Шредингера. Так как при решении таких уравнений возникает необходимость численного решения систем обыкновенных СДУ с десятками тысяч компонент, то без использования параллельных вычислений на суперкомпьютерах с сотнями тысяч ядер проблема не может быть решена. Кроме того, при решении таких задач необходимо разработать новые специфические статистические характеристики типа статистических портретов скоростей и потоков жидкости или газа.
Большое внимание уделяется построению эффективных статистических алгоритмов моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами на основе численных методов решения СДУ и эффективных алгоритмов статистического моделирования неоднородных пуассоновских потоков. Проводится верификации построенных алгоритмов и сравнение их с известными алгоритмами на решениях тестовых задач. Построенные эффективные алгоритмы применяются для решения прикладных задач, в частности для моделирования неравновесных процессов.
Исследуется влияние пуассоновских случайных шумов на поведение решений систем СДУ. Для линейных и нелинейных осцилляторов исследуется точность оценок функционалов от численных решений СДУ, полученных обобщенным явным методом Эйлера. Наличие в СДУ пуассоновской составляющей существенно затрудняет получение требуемой точности этих оценок, прежде всего из-за значительного увеличения трудоемкости численных алгоритмов. Исследование точности оценок первых моментов решения СДУ подразумевает нахождение точных аналитических выражений для моментов. При численном решении СДУ с пуассоновской составляющими точность оценок моментов зависит от значений вещественных параметров СДУ, расстояний между скачками, величин скачков, размера шага интегрирования и размера ансамбля моделируемых траекторий решения. На точность оценок сильно влияет рост дисперсии компонент решения системы СДУ, причем наличие пуассоновской составляющей может превращать устойчивое в среднеквадратичном решение в неустойчивое. Кроме того, в отличие от винеровской составляющей, пуассоновская составляющая может существенно менять частоту колебаний математического ожидания решения осциллирующей системы СДУ.
Проводятся исследования по оценке неизвестных параметров моделей, заданных в виде дискретных аналогов СДУ с пуассоновской составляющей. Такая модель на основе скалярного линейного СДУ построена для ценовых рядов, используемых в финансовой математике. Она учитывает случайные скачки цен и включает в себя следующие неизвестные параметры: коэффициент корреляции приращений цены, волатильность, среднеквадратичное отклонение величины скачков, интенсивность скачков. Исследуются оценки этих параметров, полученные на основе метода моментов по одной реализации ряда приращений цены.
Разработаны и теоретически обоснованы методы и алгоритмы оценки производных по параметрам математических ожиданий функционалов диффузионных процессов в областях с поглощающими и отражающими границами. Основные проблемы в решении таких задач, которые были успешно решены, состоят в следующем. Для областей с поглощающими границами функционалы диффузионных процессов содержат, как правило, время первого выхода процесса из области, для которого требуется находить производные по параметрам. В случае отражающих границ возникает необходимость дифференцирования по параметрам локального времени случайного процесса на границе, которое тоже необходимо дифференцировать по параметрам. Построенные методы имеют важное значение при исследовании параметрической зависимости решений задач, связанных со случайными процессами. К таким задачам можно отнести, например, задачи финансовой математики и решение краевых задач для эллиптических и параболических уравнений. Также методы оценки параметрических производных могут быть использованы при решении обратных задач на основе градиентной оптимизации. При этом следует отметить, что успешное решения многих практических задач возможно на основе параллельных вычислений использованием суперкомпьютерной техники. В настоящее время на основе этих методов в лаборатории решается задача оптимизации параметров теплозащитных покрытий самолетов, конструкция которых предполагает наличие сотовых панелей.
