Ру
EnЛаборатория численного анализа стохастических дифференциальных уравнений
Заведующие лабораторией |
||
 |
 |
 |
|
д.ф.-м.н., проф. Артемьев С.С. 1995 – 2017гг. |
д.ф.-м.н., проф. РАН Марченко М.А. 2017 – 2019гг. |
к.ф.-м.н. Лукинов В.Л. 2019 – наст. вр. |
Контакты:
Лукинов Виталий Леонидович
email: Vitaliy.Lukinov[~]sscc.ru
Научная деятельность
В составе лаборатории 3 кандидата и 2 доктора наук, 2 молодых научных сотрудника.
Тематика: разработка численных методов решения и параметрического анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), математическое моделирование случайных процессов в задачах из различных областей науки и техники, параллельные алгоритмы статистического моделирования для кластерных вычислений, разработка статистических алгоритмов обработки и анализа больших данных.
Научная деятельность лаборатории связана с анализом решений стохастических дифференциальных уравнений методом Монте-Карло. Основное направление – разработка высокоэффективных численных методов решения систем СДУ. Особое внимание уделяется численному анализу решений осциллирующих СДУ. Проводится исследование влияния аддитивных и мультипликативных случайных шумов на линейный и нелинейный колебательные контуры, поведение странных аттракторов, протекание химических реакций, траектории полетов космических летательных аппаратов. Изучаются вопросы численного решения СДУ в частных производных. В качестве объектов исследования выступают стохастические уравнения Навье – Стокса и Шредингера. При решении таких уравнений возникает необходимость численного решения систем обыкновенных СДУ с десятками тысяч компонент, для этого используются параллельные вычисления на суперкомпьютерах с сотнями тысяч ядер. Большое внимание уделяется построению эффективных статистических алгоритмов моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами на основе численных методов решения СДУ и эффективных алгоритмов статистического моделирования неоднородных пуассоновских потоков. Разрабатываются и теоретически обосновываются методы и алгоритмы оценки производных по параметрам математических ожиданий функционалов диффузионных процессов в областях с поглощающими и отражающими границами.
Разработаны и реализованы на суперкомпьютере параллельные алгоритмы численного статистического моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений с частными производными – одномерных и двумерных уравнений теплопроводности, Бюргерса и Кортевега-де-Фриза, а также для решения обратной задачи гравиметрии.
Системы СДУ с первым интегралом, решение которых находится на гладком многообразии, определяют математические модели инвариантных стохастических динамических систем, для состояний которых выполняется некоторый закон сохранения, например энергии, массы, импульса, момента импульса. Предложена модификация численных методов решения СДУ, применение которой обеспечивает принадлежность моделируемых траекторий заданному многообразию.
Проведено математическое моделирование обледенения крыла самолета и теплового состояния, находящегося под давлением, термически изолированной кабины экипажа с сотовыми конструкциями.
Разработана модель распространения COVID-19 с пуассоновскими потоками, с помощью которой проведено численное исследование влияния длительности инкубационного периода. Оптимально согласованный размер составил 3 дня для используемых статистических данных. Для больших инкубационных периодов возникает отложенный эффект: количество выявленных больных на 90-й день снижается.
Разработан комплекс программ AMIKS (сокращение образовано первыми буквами фамилий разработчиков на английском языке: Artemiev, Marchenko, Ivanov, Korneev, Smirnov) для численного анализа систем СДУ любой размерности на суперЭВМ. С помощью AMIKS можно описывать динамику различных моделей стохастических осцилляторов и получать различные статистические характеристики осциллирующей системы.
Разработан программный комплекс SPARDE1D для численного решения СДУ с частными производными на суперкомпьютере.
Наиболее значимые публикации:
1. Lotova G. Z., Lukinov V. L., Marchenko M. A., Mikhailov G. A., Smirnov D. D. Numerical-statistical study of the prognostic efficiency of the SEIR model // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2021. Vol. 36, No. 6. P. 337–345. https://doi.org/10.1515/rnam-2021-0027.
2. Artem’ev S. S., Yakunin M. A. Parametric analysis of the oscillatory solutions to stochastic differential equations with the Wiener and Poisson components by the Monte Carlo method // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2017. Vol. 11. P. 157–167. https://doi.org/10.1134/S1990478917020016.
3. Artemiev S. S., Ivanov A. A., Smirnov D. D. New frequency characteristics of the numerical solution of stochastic differential equations // Numerical Analysis Applications. 2015. Vol. 8. P. 13–22. https://doi.org/10.1134/S1995423915010024.
4. Averina T. A., Rybakov K. A. Using maximum cross section method for filtering jump-diffusion random processes // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2020. Vol. 35, No 2. P. 55-67. https://doi.org/10.1515/rnam-2020-0005.
5. Averina T. A., Rybakov K. A. A Modification of numerical methods for stochastic differential equations with first integrals // Numerical Analysis Applications. 2019. Vol. 12. P. 203–218. https://doi.org/10.1134/S1995423919030017.
6. Gusev S. A. On the variance of estimation of a diffusion process functional in a domain with a reflecting boundary // Numerical Analysis Applications. 2022. Vol. 15. P. 293–302. https://doi.org/10.1134/S1995423922040024.
7. Gusev S. A., Nikolaev V. N. Optimization parameters of air-conditioning and heat insulation systems of a pressurized cabins of long-distance airplanes // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. 302 (2018) 012042 DOI:10.1088/1757-899X/302/1/012042.
8. Burmistrov A., Korotchenko M. Double randomization method for estimating the moments of solution to vehicular traffic problems with random parameters // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2020. Vol. 35, iss. 3. P. 143–152. DOI: https://doi.org/10.1515/rnam-2020-0011.
Важнейшие результаты
2023 год
Численное исследование влияния случайных факторов внешней среды на процессы теплопереноса в летательных аппаратах
Гусев С.А., д.ф.-м.н., внс, ИВМ и МГ СО РАН
Движение летательного аппарата в атмосфере с большими скоростями как правило сопровождается быстрой и случайной сменой физических параметров внешней среды, что может существенно изменять процессы теплообмена с внешней средой, влияющие на показания приборов, свойства материалов и теплозащиту отсеков. Перенос тепла описывается одномерной краевой задачей третьего рода. Новым является задание случайных возмущений в граничном условии, соответствующем внешней поверхности. Решение краевой задачи аппроксимируется методом Галеркина. Моделирование случайных возмущений внешней среды осуществляется с помощью винеровского интеграла в системе дифференциальных уравнений, записанных в интегральной форме. Проверочные расчёты показали на задаче с известным точным решением, что при удалении от границы со случайными возмущениями, численное решение краевой задачи с возмущениями сходится к известному точному решению невозмущённой краевой задачи.
Публикация:
S.A. Gusev, V.N. Nikolaev Numerical Study of the Influence of Random Environmental Factors on the Heat Transfer Processes of Aircrafts // Proceedings of APEIE 2023 IEEE XVI International Scientific and Technical Conference «Actual Problems of Electronic Instrument Engineering» (в печати).
2022 год
Уменьшение дисперсии оценки функционала от диффузионного процесса в области с отражающей границей
Гусев С.А., д.ф.-м.н., внс, ИВМ и МГ СО РАН
Предложен способ уменьшения дисперсии для оценки функционала от диффузионного процесса в области с отражающей границей. Оценка получается на основе численного моделирования траекторий решения системы СДУ, соответствующей диффузионному процессу. Значение этого функционала совпадает с решением в заданной точке краевой задачи третьего рода для параболического уравнения. Для уменьшения дисперсии оценки предложено преобразование краевой этой задачи. Получена формула для предельного значения дисперсии этой оценки при убывании шага в методе Эйлера. При этом значение дисперсии зависит от матрицы диффузии и градиента решения краевой задачи. Преобразование краевой задачи приводит к уменьшению нормы градиента решения краевой задачи на большей части области её определения, что приводит к уменьшению дисперсии оценки функционала.
Публикация:
С.А. Гусев О дисперсии оценки функционала от диффузионного процесса в области с отражающей границей // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН Сиб. отд-ние. – Новосибирск, 2022. – Т. 25, № 4. – С. 359 – 369.
2021 год
Применение метода максимального сечения в задаче фильтрации для непрерывных систем с марковскими переключениями
Аверина Т.А., к.ф.-м.н., внс, ИВМиМГ СО РАН, Рыбаков К.А, к.ф.-м.н., доцент МАИ
Предложены новые алгоритмы решения задачи оптимальной фильтрации для систем со случайной структурой с непрерывным временем, использующие экономичный способ моделирования случайных величин.
Рассматриваемая задача оптимальной фильтрации состоит в оценивании текущего состояния (X(t),L(t)) системы по результатам измерений Y(t). Математическая модель системы включает нелинейные стохастические дифференциальные уравнения, правая часть которых определяет структуру динамической системы, или режим функционирования. Правая часть может изменяться в случайные моменты времени. Число структур системы предполагается конечным, а процесс смены структуры — марковским или условно марковским. Вектор состояния такой системы состоит из двух компонент: вектора с вещественными координатами X(t) и целочисленного номера структуры L(t). Закон изменения номера структуры определяется распределением случайного промежутка времени между переключениями с заданной интенсивностью, зависящей от состояния системы.
Предложенные алгоритмы оценивания текущего состояния систем со случайной структурой относятся к типу фильтров частиц. Алгоритмы построены на основе метода статистического моделирования с использованием разработанных численных методов решения СДУ и экономичной модификации метода максимального сечения
Публикации:
Tatyana A. Averina, Konstantin A. Rybakov Maximum cross section method in the filtering problem for continuous systems with Markovian switching // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. Vol.36, No 3, 2021,pp. 127-137, DOI: https://doi.org/10.1515/rnam-2021-0011
Практически важные результаты
2023 год
КАЛЬКУЛЯТОР ГлиомаРискТромбоз
Симакова М.А., Пищулов К.А, Лукинов В.Л., Войнов Н.Е.
Программа прогнозирования риска развития венозных тромбоэмболических осложнений у пациентов с глиальными опухолями центральной нервной системы после оперативного лечения на время стационарного этапа. Статистический анализ собранной авторами выборки больных позволил выявить совокупность клинических показателей, которые связаны с развитием венозных тромбоэмболических осложнений. Прогнозирование позволит выбрать правильные методы профилактики и снизить риски развития тромбоэмболических осложнений.
2022 год
DBTR-КАЛЬКУЛЯТОР
Медведчиков А.Е., Лукинов В.Л., Кирилова И.А.
Программа предназначена для прогнозирования риска хирургического лечения пациентов с разрывом дистального сухожилия двуглавой мышцы плеча, что позволит выбрать правильные методы лечения и снизить риски негативных исходов лечения. На основе логистической многофакторной регрессии построены прогностические модели, позволяющие определить риски негативных исходов для разных тактик лечения. Программа содержит несколько модулей, позволяющих выполнять автоматизированные расчеты и сравнение рисков неблагоприятных событий для различных методов лечения. Программа включает в себя основной графический модуль для ввода данных и получения прогноза рисков негативных событий, расчетный модуль для вычисления рисков и сравнения методов лечения, информационные модули помощи, сведений о применяемых алгоритмах, модуль сохранения данных.
Программа моделирования эпидемии COVID-19 для двух групп индивидуумов с отличающимися клиническими характеристиками
В.Л. Лукинов, Д.А. Юзов
Программа является развитием программы для реализации и численного анализа стохастической Пуассоновой SEIR-модели эпидемии COVID-19. Новизна состоит в введении двух групп с отличающимися клиническими параметрами и возможности параллельных вычислений на одном процессоре с многими вычислительными потоками.
Математическая модель и результаты тестирования программы представлены на международной научной конференции «Марчуковские научные чтения 2022»:
2021 год
Программа для реализации и численного анализа стохастической Пуассоновой SEIR-модели эпидемии COVID-19
Г.З. Лотова, В.Л. Лукинов, М.А. Марченко, Г.А. Михайлов, Д.Д. Смирнов
Программа позволяет исследовать распространение эпидемии COVID-19 на основе моделирования пуассоновских потоков событий в популяции, определяя на каждом шаге время и тип последующего события. Таким образом реализуется случайная траектория событий. Результатом программы являются реализации случайных траекторий, усредненная траектория эпидемии и оценки стандартных отклонений для каждого дня, с помощью которых определяется точность прогноза.
Математическая модель и результаты тестирования программы опубликованы:
